CONDICIONES DE DIRICHLET

Las condiciones de Dirichlet son condiciones suficientes para garantizar la existencia de convergencia de las series de Fourier o de la transformada de Fourier.

Deben su nombre al matemático Alemán Peter Dirichlet.

Existen condiciones débiles y condiciones fuertes de Diirichlet, a continuación una breve descripción de las mismas:

CONDICIONES DÉBILES:

1.     Para que las series de fourier existan, los coeficientes de fourier deben ser finitos, esta condición garantiza su existencia. Esencialmente dice que el integral del valor absoluto de la señal debe ser finito. Los límites de integración son diferentes para el caso de las series de fourier y de los del caso de las trasformada de Fourier. Este es el resultado que proviene directamente de las diferencias en las definiciones de las dos.

Las series de fourier existen (los coeficientes son finitas) si

∫T0|f(t)|dt<∞

Esto se puede probar usando la condición inicial de los coeficientes iniciales de las series de fourier que pueden ser finitas.

|cn|=∣∣∣1T∫T0f(t)e−(iω0nt)dt∣∣∣≤1T∫T0|f(t)|∣∣e−(iω0nt)∣∣dt

Recordando los exponenciales complejos, sabemos que la ecuación anterior ∣∣e−(iω0nt)∣∣=1, nos da

1T∫T0|f(t)|dt=1T∫T0|f(t)|dt

2.     La transformada de fourier existe si

∫∞−∞|f(t)|dt<∞

Esto se puede derivar de la misma manera en la que se derivo las condiciones débiles de Dirichlet para las series de fourier, se empieza con la definición y se demuestra que la transformada de fourier debe de ser menor que infinito en todas partes.

CONDICIONES FUERTES:

La transformada de Fourier existe si la señal tiene un número finito de discontinuidades y un número finito de máximos y mínimos. Para que las series de fourier existan las siguientes dos condiciones se deben de satisfacer (junto con la condición débil de Dirichlet):

1. En un periodo, f(t) tiene solo un número finito de mínimos y máximos.
2. En un periodo, f(t) tiene un numero finito de discontinuidades y cada una es finita.

Esto es a lo que nos referimos como las condiciones fuertes de Dirichlet. En teoría podemos pensar en señales que violan estas condiciones por ejemplo sin(logt), sin embargo, no es posible crear esta señal en un laboratorio. Por eso, cualquier señal en el mundo real tendrá una representación de Fourier.

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